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Les probabilités de compléter l’album d’autocollants Panini de l’Euro 2020

Certains de mes premiers souvenirs de football proviennent de la Coupe du monde de 1994, lorsque mon père m’a aidé à terminer l’album d’autocollants du tournoi. Romario, Gheorghe Hagi et Roberto Baggio étaient les stars, mais des noms comme Marco Etcheverry, John Harkes et Marco Pascolo sont tout aussi mémorables pour moi – puisqu’ils m’ont aidé à terminer ce livre.

Aujourd’hui, près de 30 ans plus tard, de nombreux enfants et adultes du monde entier collectionnent les autocollants lors du tournoi UEFA Euro 2020

Les albums d’autocollants Panini football sont une curieuse tradition des fans de football. La collectionnite n’en est pas moins un phénomène durable. mais durable. Ayant souvent une valeur nostalgique pour les supporters comme moi. Lorsqu’un grand tournoi de football se déroule, les fans achètent des albums avec des espaces vierges pour les autocollants des joueurs. Le but est de remplir chaque espace. Mais les autocollants sont vendus en paquets ou pochettes de cinq, distribué au hasard.

Les collectionneurs peuvent facilement se retrouver avec dix exemplaires d’un autocollant tandis que d’autres restent difficiles à se procurer. La ferveur des fans est amplifiée avant le début des tournois avec ces autocollants.

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J’aime penser que la collection d’autocollants a joué un petit rôle en me poussant à devenir statisticien. Finir un album complet est, après tout, basé sur la probabilité statistique.

L’album de l’Euro 2020 Tournament Edition contient 678 autocollants à collectionner – y compris des photos des joueurs des 24 nations en compétition, ainsi que des photos du trophée et de la mascotte officielle. Chaque collectionneur espère obtenir l’ensemble complet, et ce n’est pas aussi simple que d’acheter ceux dont vous avez besoin.

Les statistiques peuvent nous aider à calculer le coût de recherche de chaque autocollant

Pour obtenir les 678 stickers, vous devez acheter suffisamment de paquets. Mais les chances de ne pas avoir de doublons en achetant 136 paquetssont quasi-nulles, si bien qu’elles peuvent être considérées comme impossibles.

Il est garanti que notre tout-premier autocollant sera un nouveau, ce qui rend la probabilité de succès de 1. Pour notre deuxième autocollant, la probabilité est de 677/678, car il y a 678 autocollants possibles et 677 seraient nouveaux pour nous.

Pour calculer la probabilité de terminer l’album sans doublons, nous multiplions 1 ou (678/678) par (677/678) par (676/678), et ainsi de suite jusqu’à (1/678). Cela nous donne une chance de 1 sur 4,33 x 10²⁹² (4,33 suivis de 292 zéros), ce qui est un nombre incroyablement petit.

Maintenant, nous savons que 136 paquets ne suffiront pas, combien de paquets devons-nous acheter ? Il n’y a pas de réponse exacte, mais les statistiques peuvent nous aider à déterminer la probabilité de terminer l’album si nous achetons un certain nombre de paquets.

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Le coût probable

Si nous prenons une taille donnée d’échantillons d’autocollants parmi un ensemble de 678 autocollants possibles, quelle est la probabilité de retrouver chacun des 678 autocollants au moins une fois ?

Une formule existe pour calculer cette probabilité, mais ce n’est pas simple. Il contient quelque chose appelé le factoriel de 678 – qui est 678 multiplié par 677 par 676, et ainsi de suite jusqu’à un. Malheureusement, ce nombre est si grand que même un ordinateur puissant ne peut pas le calculer. C’est un phénomène très courant dans les statistiques, et il existe des techniques pour estimer la probabilité lorsque cela se produit.

Une approche possible est de faire une simulation, utilisant un ordinateur pour recréer à plusieurs reprises le processus de collecte d’autocollants en ouvrant virtuellement des paquets et en déterminant si nous obtenons les 678 autocollants différents. Si nous répétons ce processus assez souvent -100 000 fois dans cet exemple – nous obtiendrons une très bonne estimation de la vraie probabilité.

Le résultat de la simulation est une mauvaise nouvelle pour le portefeuille des collectionneurs d’autocollants

Si vous voulez avoir 50% de chances de terminer l’album, vous devez acheter au moins 830 pochettes d’autocollants. Pour augmenter votre probabilité à 75%, cela vous coûtera 980 paquets. La probabilité de succès ne sera jamais de 100%, mais vous seriez exceptionnellement malchanceux de ne pas tous les trouver si vous achetiez environ 2300 paquets.

La simulation a montré que le nombre médian de paquets que vous deviez acheter pour terminer l’album était de 830. Le moins cher sur 100000 simulations était de 478 ​​paquets tandis que le plus cher était de 2643 paquets.

Obtenir les derniers autocollants est la partie la plus coûteuse. S’il vous en reste 51, les chances d’en trouver un sont de 51 sur 678 (soit 7,5%), alors que s’il vous en reste un, les chances de le trouver sont de 0,15% (une sur 678).

Une façon de réduire les coûts consiste à échanger des autocollants

Le trading ne coûte rien – vous donnez un doublon que vous avez déjà payé. Si vous êtes très perspicace dans la façon dont vous négociez, vous ne devriez pas avoir besoin d’acheter plus que les 113 paquets.

La collection d’autocollants peut être un loisir très coûteux, surtout si vous n’avez personne avec qui échanger. Mais, cela peut initier les enfants et les adultes au concept de probabilité.

Cela peut aussi être un excellent moyen de créer un lien émotionnel avec un sport merveilleux et la possibilité de créer des souvenirs.

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